Герман Уткин

Герман Уткин

Ассистент каф. АГДМ, ННГУ им. Н.И. Лобачевского, ИИТММ

Публикации

Необходимые и достаточные условия подобия целочисленных матриц обобщённой жордановой клетке

Опубликовано в Математика и ИТ - вместе в цифровое будущее: Сборник трудов V Молодежной школы (Н. Новгород, 20–24 апреля 2026 г.), 2026

Работа посвящена проблеме распознавания подобия над кольцом целых чисел верхних треугольных нильпотентных матриц и матриц с одной супердиагональю. В работе сформулированы необходимые условия для подобия таких матриц, а также критерий подобия для матриц 3, 4 и 5 порядков.

Для цитирования: Уткин Г.В. Необходимые и достаточные условия подобия целочисленных матриц обобщённой жордановой клетке// Математика и ИТ - вместе в цифровое будущее: Сборник трудов V Молодежной школы, Нижний Новгород, 20–24 апреля 2026 года. Нижний Новгород: Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского. – 72 с. 2026. С. 51-53.

Классы подобия целочисленных нильпотентных матриц 4-го порядка с минимальным многочленом степени не выше 3

Опубликовано в Математическое моделирование и суперкомпьютерные технологии. Труды XXV Международной конференции (Н. Новгород, 17–19 ноября 2025 г.), 2025

В работе получено описание структуры классов подобия над кольцом целых чисел для целочисленных нильпотентных матриц 4 порядка с минимальным многочленом степени не выше 3. Также получено описание канонических матриц классов подобия. Кроме того, для таких матриц получен критерий подобия жордановой форме.

Для цитирования: Сидоров С.В., Уткин Г.В. Классы подобия целочисленных нильпотентных матриц 4-го порядка с минимальным многочленом степени не выше 3 // Математическое моделирование и суперкомпьютерные технологии. Труды XXV Международной конференции (Н. Новгород, 17–19 ноября 2025 г.) – Нижний Новгород. Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2025. – 221 с. 2025. С. 141-142.

О подобии над кольцом целых чисел верхних треугольных нильпотентных матриц 4-го и 5-го порядков обобщённой жордановой клетке

Опубликовано в Журнал Средневолжского математического общества, 2025

В работе ставится вопрос о том, при каких условиях верхняя треугольная нильпотентная матрица подобна над кольцом целых чисел обобщённой жордановой клетке, т.\,е. матрице, в которой ненулевыми являются элементы только первой наддиагонали. Получены необходимые и достаточные условия подобия обобщённой жордановой клетке для следующих классов матриц: для матриц четвёртого порядка ранга $3$ с ненулевыми элементами первой наддиагонали; для матриц пятого порядка ранга $4$ и некоторыми дополнительными ограничениями на элементы первой наддиагонали. Эти условия сформулированы в простых терминах делимости и наибольших общих делителей матричных элементов. Доказано, что если в матрице первый и последний элементы первой наддиагонали взаимно просты, а произведение остальных элементов этой наддиагонали равно $1,$ то любая такая матрица подобна обобщённой жордановой клетке. Для получения критерия подобия используется следующий факт: если две нильпотентные верхние треугольные матрицы порядка $n$ и ранга $n - 1$ подобны над кольцом целых чисел, то среди трансформирующих матриц существует треугольная матрица. Этот факт сводит задачу распознавания подобия к решению в целых числах системы линейных уравнений. Основным инструментом для получения результатов в статье является критерий совместности в целых числах системы линейных уравнений.

Для цитирования: Сидоров С. В., Уткин Г. В. О подобии над кольцом целых чисел верхних треугольных нильпотентных матриц 4-го и 5-го порядков обобщённой жордановой клетке // Журнал Средневолжского математического общества. 2025. Т. 27, № 1. С. 69-80. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.27.202501.69-80

Модификация градиентного спуска в задаче билинейной оптимизации

Опубликовано в Математическое моделирование и суперкомпьютерные технологии. Труды XXIV Международной конференции (Н. Новгород, 18–21 ноября 2024 г.), 2024

В работе исследуется модификация метода градиентного спуска, предложенная в статье [1]. Модификация метода основывается на учете асинхронной сходимости переменных. Градиентный спуск с рассматриваемой модификацией проверяется на примере задачи билинейной оптимизации.

Для цитирования: Уткин Г.В., Сидоров С.В. Модификация градиентного спуска в задаче билинейной оптимизации // Математическое моделирование и суперкомпьютерные технологии. Труды XXIV Международной конференции (Н. Новгород, 18–21 ноября 2024 г.). – Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2024. – 187 с. 2024. С. 173-178.

Критерий подобия над кольцом целых чисел нильпотентных верхних треугольных матриц 4-го порядка матрицам с одной супердиагональю

Опубликовано в Математика и ИТ — вместе в цифровое будущее. Сборник трудов III Молодежной школы (Н. Новгород, 22–26 апреля 2024 г.), 2024

Работа посвящена проблеме распознавания подобия над кольцом целых чисел нильпотентных верхних треугольных матриц 4-го порядка максимального ранга и матриц с одной супердиагональю. Получены необходимые и достаточные условия подобия таких матриц в простых терминах делимости и наибольших общих делителей элементов матриц

Для цитирования: Уткин Г.В. Критерий подобия над кольцом целых чисел нильпотентных верхних треугольных матриц 4-го порядка матрицам с одной супердиагональю // Математика и ИТ — вместе в цифровое будущее. Сборник трудов III Молодежной школы (Н. Новгород, 22–26 апреля 2024 г.). – Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2024. – 71 с. 2024. С. 57-60.

О подобии над кольцом целых чисел некоторых нильпотентных матриц максимального ранга

Опубликовано в Журнал Средневолжского математического общества, 2023

Работа посвящена проблеме распознавания подобия матриц над кольцом целых чисел для некоторых семейств матриц. А именно, рассматриваются нильпотентные верхние треугольные матрицы максимального ранга, у которых только первая и вторая супердиагонали ненулевые. Получено несколько необходимых условий подобия таких матриц матрицам вида $\mathrm{superdiag}(a_1,a_2,\dots,a_{n−1})$ с одной ненулевой супердиагональю (обобщение жордановой клетки $J_n(0)=\mathrm{superdiag}(1,1,\dots,1)$). Эти условия сформулированы в простых терминах делимости и наибольших общих делителей матричных элементов. Результат получен посредством сведения задачи распознавания подобия к задаче решения в целых числах системы линейных уравнений и применения известных необходимых условий подобия для произвольных матриц. При некоторых дополнительных условиях на элементы $a_1,a_2,\dots,a_{n−1}$ первой супердиагонали матрицы $A$ доказано, что $A$ подобна матрице $\mathrm{superdiag}(a_1,a_2,\dots,a_{n−1})$ независимо от значений элементов второй супердиагонали. Кроме того, для рассматриваемых матриц третьего и четвёртого порядков получены легко проверяемые необходимые и достаточные условия подобия матрице вида $\mathrm{superdiag}(a_1,a_2,\dots,a_{n−1}).$

Для цитирования: Сидоров С. В., Уткин Г. В. О подобии над кольцом целых чисел некоторых нильпотентных матриц максимального ранга // Журнал Средневолжского математического общества. 2023. Т. 25, № 4. С. 284–298. DOI: https://doi.org/10.15507/2079-6900.25.202304.284-298

Критерий подобия над кольцом целых чисел некоторых нильпотентных матриц пятого порядка

Опубликовано в Математическое моделирование и суперкомпьютерные технологии. Труды XXIII Международной конференции (Н. Новгород, 13–16 ноября 2023 г.), 2023

Получен критерий подобия над кольцом целых чисел некоторых верхних треугольных нильпотентных матриц 5-го порядка с одной и двумя супердиагоналями.

Для цитирования: Уткин Г.В. Критерий подобия над кольцом целых чисел некоторых нильпотентных матриц пятого порядка // Математическое моделирование и суперкомпьютерные технологии. Труды XXIII Международной конференции (Н. Новгород, 13–16 ноября 2023 г.). – Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета, 2023. – 179 с. 2023. С. 154-157.

Отношение порядка в курсе дискретной математики

Опубликовано в Математика в высшем образовании. №20, 2022

Мы приводим основные свойства отношений порядка, изучаемых в курсе дискретной математики, иллюстрируя их примерами, и предлагаем несколько интересных задач.

Для цитирования: Сидоров С.В., Смирнова Т.Г., Уткин Г.В. Отношения порядка в курсе дискретной математики // Математика в высшем образовании. № 20. 2022. С. 69-84.